Krzywa Laffera. Równanie funkcji

Krzywa Laffera jest ekonomiczną interpretacją twierdzenia analizy matematycznej, jeżeli nad odcinkiem rzeczywistym, spójnym, zwartym i domkniętym funkcja analityczna spójna, gładka, dwukrotnie różniczkowalna klasy  na końcach tego odcinka przybiera tę samą wartość, a we wnętrzu różną od niej, to ta funkcja ma na tym odcinku co najmniej jedno ekstremum lokalne. W języku symboli matematycznych twierdzenie to wyraża się: Twierdzenie 1   Twierdzenie 1 można dowieść z twierdzenia Rolle’a:   Założenie:Funkcja  jest     1°  ciągła na ,     2°  różniczkowalna na ,     3°  .   Teza:Istnieje  takie, że  Twierdzenie 2, Rolle’a   Interpretacja ekonomiczna Twierdzenie 1 polega na utożsamieniu argumentu funkcji z wypadkową, zagregowaną stopą obciążeń materialnych i obciążeń równoważnych materialnym dla władzy publicznej (legalnego monopolisty na danym terytorium ekscesu ekstensywnego [mylonego z przemocą]) , a=0, T_a=0%, ; samej funkcji z łączną wartością wszystkich danin dla władzy publicznej . Równa wartość funkcji na końcach odcinka jest wartością zerową , wartość funkcji wewnątrz odcinka różna od wartości funkcji na końcach odcinka jest wartością dodatnią , ekstremum […]

Krzywa Laffera jest ekonomiczną interpretacją twierdzenia analizy matematycznej, jeżeli nad odcinkiem rzeczywistym, spójnym, zwartym i domkniętym funkcja analityczna spójna, gładka, dwukrotnie różniczkowalna klasy  na końcach tego odcinka przybiera tę samą wartość, a we wnętrzu różną od niej, to ta funkcja ma na tym odcinku co najmniej jedno ekstremum lokalne. W języku symboli matematycznych twierdzenie to wyraża się:

Twierdzenie 1 można dowieść z twierdzenia Rolle’a:

Interpretacja ekonomiczna Twierdzenie 1 polega na utożsamieniu argumentu funkcji z wypadkową, zagregowaną stopą obciążeń materialnych i obciążeń równoważnych materialnym dla władzy publicznej (legalnego monopolisty na danym terytorium ekscesu ekstensywnego [mylonego z przemocą]) , a=0, T_a=0%, ; samej funkcji z łączną wartością wszystkich danin dla władzy publicznej . Równa wartość funkcji na końcach odcinka jest wartością zerową , wartość funkcji wewnątrz odcinka różna od wartości funkcji na końcach odcinka jest wartością dodatnią , ekstremum lokalne jest maksimum lokalnym . Stopę i kwotę zazwyczaj wyraża się w liczbach wymiernych, założenia zostały wzmocnione na potrzeby nie analizy matematycznej, tylko ekonomii, przy osłabieniu założeń do minimum koniecznego Twierdzenie 1 przechodzi w twierdzenie Rolle’a z dokładnością do konwencji zapisu wielkości matematycznych.

Wbrew Dzierżawskiemu[2] krzywa Laffera ma postać matematyczną i ma tylko jedno maksimum. Zgadnie z Boltonem[3], że funkcja  ma postać iloczynu stopy opodatkowania  i podstawy opodatkowania. Utożsamianie podstawy opodatkowania z produktem narodowym brutto (GNP) jest nadmiernym uproszczeniem. Podstawę opodatkowania można utożsamić z sumą wartości wszystkich zaspokojonych potrzeb łącznie. Stopa zgodności (Compliance Rate) wchodzi do funkcji  nie jako mnożnik, tylko wykładnik, o czym dalej. Od samej krzywej Laffera bardziej interesująca jest podstawa opodatkowania. Wyraża się ona równaniem , a krzywa Laffera .

Stopa opodatkowania  przedstawiona jest na osi odciętych , a podstawa opodatkowania  i krzywa Laffera  na osi rzędnych . Wszystkie wielkości są znormalizowane do jedynki; stopa opodatkowania  przybiera wartości z przedziału , który odpowiada przedziałowi . Wartość jeden odpowiada podstawie opodatkowania , która zostałaby wypracowana w warunkach, w których działalność państwa nie przynosiłaby niczego dobrego, anarchia byłaby możliwa, ludzie byliby moralni, uczciwi, sprawiedliwi, świat byłby doskonały, ludzie nie wyrządzaliby sobie nawzajem krzywd, nie byłoby żadnego zagrożenia i nie zachodziłaby konieczność pobierania podatku. Krzywa Laffera  w pobliżu punktu  zbiega asymptotycznie do prostej (np. jak na Wykres 1, niektóre przekonania interwencjonistów nie są całkiem bezpodstawne). Podstawa opodatkowania  musi spełniać określone warunki: przechodzić przez punkty  i ; w pobliżu punktu  podstawa opodatkowania zbiega do zera asymptotycznie; wraz ze wzrostem stopy opodatkowania podstawa opodatkowania  spada eksponencjalnie; ściąganie danin jest zjawiskiem tego samego typu, co procent składany, a procent składany jest opisywany funkcją eksponencjalną. Najprostsza funkcja, która spełnia te warunki i daje się wyrazić w postaci jawnej, ma postać , gdzie ­ — stopa zgodności (Compliance Rate), która może być również nazwana współczynnikiem światopoglądowo motywacyjnym, o czym dalej. Krzywa Laffera . Na potrzeby obliczeń na wielkościach liczbowych równanie podstawy opodatkowania przybiera postać ,krzywa Laffera, gdzie N_0=N(0).

Wykres 1

Dla stopy zgodności o wartości jeden  przebiegi podstawy opodatkowania  i krzywej Laffera  przedstawiają Wykres 2 i Wykres 3.

Wykres 2

Wykres 3

Zwróćmy uwagę, na to, że podstawa opodatkowania  i krzywa Laffera  zbiega w pobliże zera w pewnej odległości przed osiągnięciem przez stopę opodatkowania  wartości jeden. To pułapka czwartego świata. Opisywanie zjawiska, które nie zostało założone przed skonstruowaniem postaci może być przesłanką na rzecz trafności postaci podstawy opodatkowania  i krzywej Laffera .

Stopa zgodności  pozwala na szerokie i elastyczne manipulowanie podstawą opodatkowania  i krzywą Laffera . Wraz ze wzrostem stopy zgodności  maleją  i  . Kiedy stopa zgodności  maleje,  i  rosną . W szczególności dla niektórych wartości stopy zgodności  podstawa opodatkowania  i krzywa Laffera  mogą być argumentami na rzecz interwencjonizmu. Przebiegi podstawy opodatkowania  i krzywej Laffera  dla stopy zgodności  przedstawiają Wykres 4 i Wykres 5.

Wykres 4

Wykres 5

Zauważmy, że negatywny wpływ danin na podstawę opodatkowania  jest mały; w dużym przedziale zachowuje wysoką wartość i spada powoli. Krzywa Laffera  w dużej odległości od punktu  zachowuje zależność od stopy opodatkowania  bliską liniowej, czyli tak, jak tego chcą interwencjoniści.

Dobieranie wartości stopy zgodności , tak żeby dogodzić gustom interwencjonistów jest zajęciem czczym i nie ma związku z rzeczywistością. Stopa zgodności  mało zależy od czasu oraz wpływu innych okoliczności zewnętrznych i z dobrym przybliżeniem może być traktowana jako stała. Wyznaczenie wartości stopy zgodności  na podstawie danych gospodarczych jest ważnym zadaniem ekonomii.

Negatywny wpływ pobierania przez władzę publiczną danin polega głównie na odbieraniu producentom ich środków produkcji, jakimi niewątpliwie są ich pieniądze. Po przepisach ingerujących w sposoby prowadzenia działalności gospodarczej jest to druga przyczyna obniżająca wydajność pracy. Pobieranie przez władzę publiczną danin na gałęzi zstępującej (prawej) krzywej Laffera  można porównać do przejadania ziarna siewnego, bądź wykopywania sadzeniaków przez kołchoźników.

Jude Wanninski[4] przesadza z porównaniami do życia rodzinnego.

Wanninski pisze, „W czasach wojny punkt E może leżeć nawet bardzo blisko 100%”. Podczas wojny stopa opodatkowania  może wyjść poza zakres i przekroczyć 100%. Można powiedzieć, że żołnierz ginąc na wojnie płaci państwu podatek równy odszkodowaniu za utratę życia. Niejednokrotnie wartość tego odszkodowania jest wyższa od podatku, który poległy żołnierz byłby zdolny zapłacić państwu, gdyby nie był żołnierzem, tylko cywilem­ — podatnikiem; czyli stopa zapłaconego przez niego państwu podatku jest większa od 100%. Gdyby ten człowiek był zdolny zapłacić państwu podatek wyższy od kwoty odszkodowania za życie, państwu nie opłacałoby się go werbować, tylko zostawić w cywilu, pobrać podatek, wynająć najemnika i jeszcze trochę zaoszczędzić.

W rozdziale „Krzywa Laffera a rebours”[5] Gwiazdowski napisał, że przyczyną upadku Pierwszej Rzeczypospolitej była za niska stopa opodatkowania. Gwiazdowski nie uwzględnił: stałego wydłużania pańszczyzny, przepisów ograniczających wolność gospodarowania, strat poniesionych w wyniku najazdów tatarskich, buntów kozackich, wojen z Moskwą, ze Szwecją (z Potopem włącznie), z Turcją, wojen domowych­ — prawie każdej elekcji towarzyszyło zawiązywanie konfederacji i wojna pomiędzy stronnictwami kandydatów i in. Wszystkie one sprawiły, że, jak to napisał Karol von Clausewitz w dziele „O wojnie”, „Polska stała się bezbronnym stepem, drogą publiczną, po której mogą bezkarnie grasować obce wojska”. Gdyby te straty uwzględnić w stopie opodatkowania  mogłoby okazać się, że  w ówczesnej Rzeczypospolitej jest większe od , i że znajduje się ona na gałęzi zstępującej krzywej Laffera . Największe straty nadmiernie wysoka stopa opodatkowania przynosi nie samej gospodarce, tylko ludziom; łamie charaktery, wypacza psychikę, umniejsza ducha, psuje obyczaje, zniechęca do poświęceń, wywiązywania się z powinności, etc., etc. Daje skutki odwrotne do zachodzących przy zmniejszaniu stopy opodatkowania , które wymienił Bolton[6]: „większa akceptacja dla prawa” i „wzrost Współczynnika Aktywności Ekonomicznej”.

Warszawa, 31 grudnia 2005r.

[1]40lat przed Arturem B. Lafferem to prawo ekonomiczne odkrył i z powodzeniem wdrożył Stefan Starzyński, zob. Grzegorz Rossa, Strategia prez. Stefana Starzyńskiego,https://www.arkiva.pl/artykul.php?id=94

[2]Robert Gwiazdowski, Krzywa Laffera, Przegląd Prawniczy

[3]tamże

[4]tamże

[5]tamże

[6]tamże