Wybory w USA i zadanie na roztropność.

Dla amatorów matematycznych zagadek.

Zagadka:

W kraju dalekim przyszedł do władzy wojskowy dyktator. On chce zostać prezydentem, i wygrać dla tego demokratyczne wybory. Wybory są zorganizowane po następnym systemie. W pierwszym turze wszyscy wyborcy łączą się do równych według liczebności grup, i od każdej grupy większością głosów obiera się przedstawiciel dla głosowania w drugim turze. W drugim turze wszyscy ludzie, które były wybrane w pierwszym turze łączą się do równych grup i w każdej grupie wybierają jej przedstawiciela dla głosowania w trzecim turze. I tak dalej. W ostatnim turze przedstawiciele wybierają prezydenta. W kraju jednakowo 5 760 000 wyborców, wśród których N człowiek bezwarunkowo podtrzymują dyktatora(ponieważ polegają na regularnej armii). Przy którym minimalnym N można tak zorganizować wybory, żeby dyktator gwarantowano był wybrany przez prezydenta? (Przy równej ilości głosów do następnego tura idą niezależni kandydaci.)

Dyktator sam zawczasu wyznacza ilość turów i ile przedstawicieli będzie zawierały grupy w każdym turze – ta liczba może zmieniać się od tura do tura; on również może rozprowadzić swoich zwolenników po grupach ponieważ jemu korzystnie. Dowolny wyborca może głosować za się, a sam dyktator wchodzi do liczby N swoich zwolenników.

No że, u kogo które decyzje będą? Wywiodłem ogólną formułę dla wyznaczenia odsetka zwolenników zależnie od liczby turów wyborów:

(1)                            N(%) = 100% * (1 – summ(0.49 * 0.51^(i-1))), i = 1…n,

gdzie n – ilość turów wyborów.

Uwzględnimy:

– że przy ilości wyborców w grupie otrzymać przewagę do jednego głosu bardzo prosto przy liczebności grupy nie mniej 100 osób;

– czym więcej turów wyborów, tym mniej zwolenników należą.

Tak otrzymamy wybory do czterech turów, gdzie w pierwszym turze będą brały udział 40 000 grup po 115 i 10 000 grup po 116 osób, w drugim turze 10 000 grup po pięć osób, w trzecim turze 100 grup po 100 osób i w czwartym turze jedna grupa do 100 osób.

Dalej prosta matematyka.

– Żeby w drugim turze w grupie po pięć osób okazali się trzy zwolennicy dyktatora, trzeba żeby w 51% wypadków w trzech z pięciu grup pierwszego tura okazało się po 58 zwolenników dyktatora.

– Żeby w trzecim turze w grupie po 100 osób okazał się 51 zwolennik dyktatora należy żeby w 51% grup drugiego tura byli trzy zwolennicy z pięciu osób.

– Żeby w czwartym turze w grupie po 100 osób okazał się 51 zwolennik dyktatora należy żeby w 51% grup trzeciego tura było 51 zwolennik z 100 osób

W ogóle przy takim prostym obrachunku, wychodzi koniecznie 452 574 zwolenników, czy 7.9% wyborców.

Jeśli policzymy toż po idealnej formule (1) otrzymamy 389 676 zwolenników czy 6.8% wyborców dla czterech turów wyborów.

Spytacie: przy czym tu najdemokratyczny kraj świata? W przybliżeniu tak tam są zorganizowane wybory. Z trzech kandydatów, jeden z których zawsze jawny statysta.